Непрерывность функции в точке

Пусть $f(x)\mathpunct{:}~ X \to \mathbb{R}, x_{0} \in X$, тогда $f(x)$ - непрерывна в точке $x_{0}$, если $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta(\varepsilon) > 0}~~ \forall{x \in X}\mathpunct{:}~~ |x - x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_{0})| < \varepsilon$$ Если $\forall{x \in X}\mathpunct{:}~ f(x)$ - непрерывна, то $f(x)$ непрерывна на $X$

Если $x_{0}$ - предельная точка, то $f(x)$ - непрерывна $\iff \lim_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0})$

$x_{0}$ - изолированная точка, если $$\exists{\varepsilon > 0}\mathpunct{:}~~ (x_{0} - \varepsilon, x_{0} + \varepsilon) \cap X = \{x_{0}\}$$ Если $x_{0}$ - изолированная точка, то $f(x)$ непрерывна в $x_{0}$